冰河時(shí)代為什么會(huì)周期性重復(fù)出現(xiàn)?是否有關(guān)于混沌和湍流系統(tǒng)更一般的數(shù)學(xué)描述?成千上萬只椋鳥的喃喃聲中究竟有怎樣的規(guī)律?

　　人們或許能從2021年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主、意大利科學(xué)家Giorgio Parisi(帕里西)的工作中找到答案。

　　10月5日，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予日裔美籍科學(xué)家真鍋淑郎、德國科學(xué)家Klaus Hasselmann和帕里西。其中，帕里西因“發(fā)現(xiàn)了從原子到行星尺度的物理系統(tǒng)中無序和波動(dòng)的相互作用”獲獎(jiǎng)。

　　這也是諾貝爾獎(jiǎng)第五次頒發(fā)給無序體系相關(guān)的工作。其他4位因從事和非晶相關(guān)的工作而獲得諾貝爾獎(jiǎng)的科學(xué)家是P.J.Flory(1974)、P.W.Anderson(1977)、N.F.Mott(1977)和高錕(2008)。

　　無序系統(tǒng)中序和規(guī)律研究大師

　　帕里西是位善于從無序中發(fā)現(xiàn)有序、在復(fù)雜材料中發(fā)現(xiàn)隱藏規(guī)律的大師。

　　他的主要貢獻(xiàn)是最早給出了被認(rèn)為是非平行體系中最簡單的數(shù)學(xué)模型——自旋玻璃模型中的嚴(yán)格解。作為一個(gè)典型的無序體系，自旋玻璃相對(duì)結(jié)構(gòu)無序的非晶玻璃而言更簡單，此時(shí)無序的不再是原子的結(jié)構(gòu)位置，而是原子的自旋。

　　早在上世紀(jì)70年代，普林斯頓大學(xué)教授P.W.Anderson和S.F.Edwards就提出了“復(fù)本法”，并結(jié)合平均場理論初步探討了自旋玻璃中的復(fù)雜數(shù)學(xué)。所謂復(fù)本可以簡單類比于上文所述不同次相同的冷卻過程所形成的不同無序圖案。其后，David Sherrington 和 Scott Kirkpatrick 構(gòu)造了無窮維下自旋玻璃的模型，并利用Anderson等人的理論方法嚴(yán)格求解。然而，計(jì)算結(jié)果表示系統(tǒng)的熵在零溫下是負(fù)值，違反了熱力學(xué)第三定律。

　　1978年，帕里西在規(guī)范場理論的研究中也借用了“復(fù)本法”，從而關(guān)注到自旋玻璃的負(fù)熵悖論。他很快意識(shí)到“復(fù)本法”的核心在于創(chuàng)建系統(tǒng)在平行時(shí)空下的復(fù)制樣本，并利用復(fù)制樣本之間的對(duì)稱性將其分類;而平均場理論僅憑單個(gè)序參量去分類，以簡單粗暴的方式去“破缺復(fù)本對(duì)稱性”，從而導(dǎo)致了負(fù)熵問題。

　　因此，帕里西天才地引入了逐級(jí)分類方法，先將復(fù)本分為若干大類，然后將大類分為若干子類，再將子類分為更小的子類，以此類推。每一級(jí)分類都對(duì)應(yīng)一個(gè)序參量，而無窮多個(gè)序參量組合成一個(gè)神奇的數(shù)學(xué)函數(shù)，并解決了自旋玻璃中的負(fù)熵問題。

　　總之，針對(duì)自旋玻璃系統(tǒng)，帕里西發(fā)展了一套有效的數(shù)學(xué)方法，并給出了一個(gè)精確的理論解。

　　在1992年獲得波爾茲曼獎(jiǎng)?wù)聲r(shí)，帕里西就指出“這是無序系統(tǒng)歷史上最重要的突破之一”。

　　帕里西理論在其他復(fù)雜體系的應(yīng)用

　　帕里西在自旋玻璃研究中發(fā)展出來的理論很快就被擴(kuò)展到其他的無序體系，諸如結(jié)構(gòu)玻璃、阻塞系統(tǒng)、恒星運(yùn)動(dòng)。他對(duì)自旋玻璃本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)如此深入，以至于這個(gè)理論不僅影響了物理學(xué)界，同時(shí)影響了數(shù)學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)科學(xué)甚至機(jī)器學(xué)習(xí)。在計(jì)算機(jī)科學(xué)研究領(lǐng)域，帕里西的方法也有著重要應(yīng)用。這是由于這些領(lǐng)域研究的問題均與阻挫行為有關(guān)。

　　帕里西研究了許多其他復(fù)雜現(xiàn)象，所有復(fù)雜的系統(tǒng)都是隨機(jī)、紊亂的，都由許多相互作用的不同部分組成，很難用數(shù)學(xué)來描述這些現(xiàn)象，隨機(jī)的過程在結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建和發(fā)展過程中起著決定性作用。

　　復(fù)雜系統(tǒng)也是一個(gè)涵蓋多個(gè)學(xué)科的交叉領(lǐng)域，它并沒有一個(gè)明確的、通用的定義。帕里西定義了復(fù)雜系統(tǒng)：如果一個(gè)系統(tǒng)的行為在很大程度上依賴于系統(tǒng)的細(xì)節(jié)，那么它就是復(fù)雜的。他進(jìn)而將復(fù)雜系統(tǒng)行為的研究看作是一場概念的革命、一場范式的轉(zhuǎn)變。

　　以往的科學(xué)家往往想用最自然的方式理解這個(gè)世界，也就是說如果我們想辦法了解系統(tǒng)的各個(gè)組成部分，并且明白它們是如何整合在一起的，那么我們便能理解這個(gè)系統(tǒng)了，這就是還原論的思想。

　　然而，在處理復(fù)雜系統(tǒng)問題時(shí)，還原論失敗了。

　　可以設(shè)想一下，如果一個(gè)系統(tǒng)對(duì)初始條件極其敏感，微小的變化會(huì)導(dǎo)致巨大的不同(混沌)，那么人們將很難對(duì)此進(jìn)行數(shù)值模擬，僅僅通過對(duì)簡單個(gè)體行為的研究已遠(yuǎn)不能理解復(fù)雜的集體行為。

　　我們的生活中充滿了各種各樣的復(fù)雜系統(tǒng)，從蝴蝶效應(yīng)和湍流，到沙子的阻塞行為，到候鳥的集群效應(yīng)、冰河時(shí)代的變遷，再到復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所有由個(gè)體簡單行為相互作用產(chǎn)生的集體行為系統(tǒng)，都可以稱為復(fù)雜系統(tǒng)。在材料科學(xué)領(lǐng)域，典型的復(fù)雜無序體系即為各種各樣的玻璃態(tài)物質(zhì)，比如地球上久遠(yuǎn)存在的黑曜石玻璃，還有人們廣泛使用的硅化物玻璃、新型的金屬玻璃等。

　　材料學(xué)中的復(fù)雜體系為普遍規(guī)律的研究提供了簡單而豐富的模型體系。比如我們可以使用小球模型描述玻璃物質(zhì)的形成過程：在溫度較高或者說體積很大的時(shí)候，這些小球彼此分散，而當(dāng)溫度下降或者壓力升高時(shí)，這些小球?qū)?huì)逐漸凝聚為固體，這些固體通常會(huì)凝聚為晶體，如果過程足夠迅速，這些小球?qū)⑿纬梢环N無序的不規(guī)則狀態(tài)即非晶狀態(tài)。

　　事實(shí)上，現(xiàn)在科學(xué)已經(jīng)證明幾乎任何物質(zhì)包括單質(zhì)的金屬在足夠快的冷卻速度下都可以變成無序的非晶態(tài)。如果重復(fù)這一過程，盡管小球仍然以無序的方式堆積，卻會(huì)呈現(xiàn)出新的不同的圖案。

　　為什么會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果呢?帕里西的工作即在這些看似無關(guān)的不同無序圖案中發(fā)現(xiàn)了隱藏的結(jié)構(gòu)和隱藏的規(guī)律，并找到了一種數(shù)學(xué)描述方法。

　　列舉的這些復(fù)雜體系似乎與自旋玻璃相去甚遠(yuǎn)，然而，帕里西是個(gè)思維很跳躍的物理學(xué)家，他能從一個(gè)問題很自然地聯(lián)系到另一個(gè)問題。他從事鳥群研究的故事就是一個(gè)很有啟發(fā)性的例子。

　　帕里西在羅馬大學(xué)的辦公室周圍有一群歐椋鳥，這種鳥一到傍晚就會(huì)成千上萬只一起飛。帕里西因此問了一個(gè)問題——這些鳥每秒能飛20~30米，它們飛翔的時(shí)候之間間隔大概有幾米，什么樣的機(jī)制讓歐椋鳥在高速飛行中保持同步、不撞到其他鳥?

　　鳥群是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，每只鳥的位置在空間上是無序的，但鳥群整體可以呈現(xiàn)出高度有序的集體飛行。為了理解鳥群中集體飛行的產(chǎn)生機(jī)制，帕里西和團(tuán)隊(duì)發(fā)展了一個(gè)三維成像系統(tǒng)，積累了大量鳥群的飛行數(shù)據(jù)，從而發(fā)展了一個(gè)鳥群的相互作用模型，定量地解釋了鳥群中集體飛行的產(chǎn)生機(jī)制。這個(gè)簡單模型對(duì)后期研究各類生物系統(tǒng)中的集體運(yùn)動(dòng)有深遠(yuǎn)影響。

　　同時(shí)，帕里西這種基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)物理的模型構(gòu)造方法也成了物理學(xué)家開展交叉學(xué)科研究的重要手段。帕里西的大部分研究都涉及這樣簡單的行為如何產(chǎn)生復(fù)雜的集體行為，這在自旋玻璃這類和椋鳥完全不同的復(fù)雜系統(tǒng)中同樣適用。有興趣深入了解的讀者可以參閱他新近出版的《簡單玻璃的理論》。

　　啟示和展望

　　今年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給了復(fù)雜系統(tǒng)研究領(lǐng)域的學(xué)者，是近年來復(fù)雜系統(tǒng)研究對(duì)于基礎(chǔ)科學(xué)、實(shí)際工程應(yīng)用，乃至于解決人類社會(huì)重大問題越來越重要這一大趨勢的反映。帕里西獲獎(jiǎng)也是對(duì)非晶物質(zhì)、復(fù)雜體系的探索者的一個(gè)新激勵(lì)。

　　除了帕里西在無序體系理論方面的貢獻(xiàn)，各個(gè)領(lǐng)域攻克無序復(fù)雜體系的研究人員都做出了重大的努力和推進(jìn)。

　　復(fù)雜體系的研究大致可以從動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)這兩條路徑進(jìn)行研究。結(jié)構(gòu)的角度關(guān)注于無序體系在無序結(jié)構(gòu)上的刻畫，比如在玻璃材料領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的Voronoi多面體模型，以及最近在無序堆垛金屬玻璃中發(fā)現(xiàn)的隱藏的拓?fù)湫虻?。而?dòng)力學(xué)角度則關(guān)注系統(tǒng)的演化過程，比如我們通過多種方法研究非晶體系的弛豫，發(fā)現(xiàn)從金屬玻璃、自旋玻璃，到氧化物聚合物玻璃，以至于沙丘等顆粒體系都表現(xiàn)出類似的動(dòng)力學(xué)特征。

　　雖然方法不同、體系各異，但是不同領(lǐng)域的科學(xué)家們都渴望在看似完全隨機(jī)的無序中去尋找隱藏的有序，在復(fù)雜之下探求普遍規(guī)律。帕里西的工作為無序體系的研究奠定了重要的基礎(chǔ)，未來的科學(xué)家必定更加直面世界的無序性和復(fù)雜性?！犊茖W(xué)》期刊在今年發(fā)表的新的125個(gè)前沿科學(xué)問題中也列出了協(xié)同運(yùn)動(dòng)的基本原理是什么。復(fù)雜系統(tǒng)的研究領(lǐng)域仍然充滿著許多困難和挑戰(zhàn)，但也必然是產(chǎn)生重大科學(xué)成果的廣闊天地。

　　(作者汪衛(wèi)華 系中國科學(xué)院院士、松山湖材料實(shí)驗(yàn)室主任)